Шарль Жан де ла Валле Пуссен - Курс анализа бесконечно малых в двух томах

Том 1: Книга посвящена дифференцированию явных функций одной независимой переменной, формуле Тейлора, функциям нескольких переменных, неопределенным интегралам и др.
Том 2: Книга посвящена кратным интегралам, рядам полиномов и тригонометрическим рядам, различным видам дифференциальных уравнений и др.

Содержание

том 1

ВВЕДЕНИЕ.
§ 1. Вещественные числа [3]
§ 2. Вещественные переменные. Теория пределов [10]
§ 3. Функции от одной вещественной переменной [22]
§ 4. Функции от многих переменных [28]
§ 5. Элементарные функции [32]
§ 6. Комплексные числа [39]
§ 7. Комплексные переменные и рациональные функции от комплексной переменной [44]
§ 8. О совокупностях вообще. Их мощность [46]
§ 9. Совокупности точек [51]
§ 10. Функции, определенные в совокупности [59]
§ 11. Меры линейных совокупностей [61]
§ 12. Измеримые функции от одной переменной [71]
§ 13. Функции с ограниченной вариацией. Абсолютно непрерывные функции [75]
ГЛАВА I. Дифференцирование явных функций одной независимой переменной.
§ 1. Производные и дифференциалы [81]
§ 2. Свойства производной. Обобщенные производные [98]
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков [107]
ГЛАВА II. Формула Taylor'a и ее различные применения.
§ 1. Формулы Taylo'ra и Maclaurin'a [114]
§ 2. Истинные значения неопределенных выражений [127]
§ 3. Maxima и minima функций от одной независимой переменной [136]
§ 4. Разложение рациональных функций на простейшие дроби [141]
ГЛАВА III. Функции от нескольких переменных.
§ 1. Частные производные; частные и полные дифференциалы функций от двух переменных [145]
§ 2. Распространение на какое угодно число переменных [156]
§ 3. Распространение формулы Taylor'a на функции нескольких независимых переменных [163]
§ 4. Maxima и minima (extrema) функций нескольких независимых переменных [165]
ГЛАВА IV. Неявные функции. Замена неременных.
§ 1. Теорема существования [173]
§ 2. Дифференцирование неявных функций [177]
§ 3. Относительные extrema [181]
§ 4. Замена переменных [186]
ГЛАВА V. Неопределенные интегралы. Классические методы интегрирования.
§ 1. Общие способы интегрирования [195]
§ 2. Интегрирование рациональных дробей [205]
§ 3. Интегрирование алгебраических иррациональностей [213]
§ 4. Интегрирование трансцендентных функций [223]
ГЛАВА IV. Элементарная теория определенных интегралов. Интеграл Riemann'a.
§ 1. Определенные интегралы, рассматриваемые, как пределы сумм [236]
§ 2. Зависимость между определенными и неопределенными интегралами. Несобственные интегралы. Вычисление определенных интегралов [246]
§ 3. Интеграл Riemann'a [275]
ГЛАВА VII. Интеграл Lebesgue'a.
§ 1. Определение и свойства интеграла Lebesgue'a [290]
§ 2. Нахождение первообразных функций [302]
§ 3. Интегрирование путем подстановки [316]
§ 4. Теоремы относительно обобщенной второй производной. Нахождение ее первообразной функции [321]
ГЛАВА VIII. Основные формулы теории плоских кривых.
§ 1. Касательная и нормальная к плоским кривым [328]
§ 2. Длина дуги плоской кривой. Наклон касательной [340]
§ 3. Направление вогнутости. Точки перегиба плоских кривых [343]
§ 4. Кривизна и эволюты плоских кривых [345]
ГЛАВА IX. Основные формулы теории поверхностей и кривых двоякой кривизны.
§ 1. Касательная к кривой. Длина дуги. Касательная плоскость [360]
§ 2. Соприкасающаяся плоскость. Кривизна и кручение кривых двоякой кривизны [371]
ГЛАВА X. Вычисление площадей плоских фигур, длин дуг и объемов тел.
§ 1. Квадратура плоских фигур [394]
§ 2. Спрямление кривых [406]
§ 3. Непрерывные кривые. Замкнутые кривые [412]
§ 4. Спрямляемые и квадрируемые кривые. Криволинейные интегралы [417]
§ 5. Объем тела. Площадь поверхности вращения [424]
§ 6. Приближенное вычисление определенных интегралов [431]
ГЛАВА XI. Ряды.
§ 1. Общие предложения о рядах с постоянными членами. Ряды с положительными членами [437]
§ 2. Произвольные ряды с постоянными членами. Операции над рядами [448]
§ 3. Ряды функций [457]
§ 4. Степенные ряды [466]
§ 5. Разложение функций в степенные ряды. Исследование остатка (случай вещественных переменных) [473]
§ 6. Элементарные целые функции. Комплексная показательная функция [482]

Том 2

Предисловие, автора ко второму французкому изданию [4]
Глава I. Элементарная теория кратных интегралов.
§ 1. Двойные интегралы [5]
§ 2. Функциональные определители. Преобразование двойных интегралов [22]
§ 3. Площадь кривых поверхностей [30]
§ 4. Употребительные формулы для вычисления объемов и площадей. Приложення [34]
§ 5. Инегралы по поверхности. Объемы в криволинейных координатах [43]
Глава II. Несобственные кратные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование полных дифференциалов.
§ 1. Несобственные двойные интегралы [56]
§ 2. Интегрирование и дифференцирование определенных интегралов по параметру. Равномерная сходимость несобственных интегралов [60]
§ 3. Вычисление интегралов с помощью различных искусственных приемов [67]
§ 4. Интегрирование полных дифференциалоь [75]
§ 5. Криволинейные интегралы, которые зависят лишь от их пределов [79]
Глава III. Кратные интегралы Riemann'a и Lebesgue'a.
§ 1. Кратные интегралы Riemann'a [85]
§ 2. Меры совокупностей нескольких измерений по (?) и (?). Измеримые функции [91]
§ 3. Кратные интегралы Lebesgue'a [95]
§ 4. Неопределенный интеграл. Его производная [97]
§ 5. Приведение двойных интегралов [104]
§ 6. Приложение к дифференцированию под знаком интеграла и к криволинейным интегралам [109]
Глава IV. Приближенное аналитическое представление функций. Ряды полиномов и тригонометрические ряды.
§ 1. Приближенное представление непрерывных функций одной переменной с помощью полиномов [113]
§ 2. Приближенное представление с помощью полиномов непрерывных функций от многих переменных [119]
§ 3. Ряды Fourier. Необходимые и достаточные условия сходимости [124]
§ 4. Классические признаки сходимости рядок Fourier [134]
§ 5. Примеры разложений в ряды Fourier [138]
§ 6. Произвольные ряды Fourier. Суммирование. Особенности [142]
§ 7. Произвольные тригонометрические ряды. Единственность разложения [157]
Глава V. Специальное вопросы: круговые функции и Еulег'овы интегралы
§ 1. Разложение круговых и гиперболических функций в бесконечные произведения и в ряды дробей [169]
§ 2. Числа и полиномы Bernoulli [174]
§ 3. Euler'oвы интегралы I н II рода [181]
§ 4. Функции (?) и (?). Разложение Fuler'овых функций в ряды и в бесконечные произведения [188]
§ 5. Функции (?) и (?). Асимптоматические формул [193]
Глава VI. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общие предложения. Уравнения 1-го порядка
§ 1. Образование дифференциальных уравнений [201]
§ 2. Общие предложения об интегралах дифференциальных уравнений. Теоремы существования [205]
§ 3. Уравнения 1-го порядка и 1-й степени. Интегрирующий множитель [217]
§ 4. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно у' [231]
§ 5. Геометрические приложения уравнений 1-го порядка [236]
Глава VII. Обыкновенные дифференциальные уравнения (продолжение). Уравнения порядка выше первого. Системы уравнений
§ 1. Уравнения линейные без свободного члена [241]
§ 2. Линейные уравнения со свободным членом. Понижение порядка линейных уравнений [249]
§ 3. Множители линейных уравнении [256]
§ 4. Интегрирование линейных уравнений с постоянными коэфициентами и без свободного члена [259]
§ 5. Интегрирование линейных уравнении с постоянными коэфициентами и со свободным членом [265]
§ 6. Интегрирование рядами некоторых линейных уравнений второго порядка. Уравнения (?) и Riccati [272]
§ 7. Интегрирование или приведение дифференциальных уравнений с помощью частных приемов [280]
§ 8. Геометрические приложения [293]
§ 9. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы [297]
Глава VIII. Линейные уравнения с частными производными и в полных дифференциалах
§ 1. Образование уравнении с частными производными [308]
§ 2. Свойства функциональных определителей [312]
§ 3. Линейные однородные уравнения в частных производных [315]
§ 4. Линейные уравнения общего вида [324]
§ 5. Интегрирование одного уравнения в полных дифференциалах [330]
§ 6. Система уравнении в полных дифференциалах [339]
§ 7. Системы уравнений линейных и однородных относительно частных производных одной и той же неизвестной функции [343]
Глава IX Начала вариационного исчисления и исчисления конечных разностей
§ 1. Вариационное исчисление [355]
§ 2. Исчисление конечных разностей [367]
§ 3. Формула (?) и (?). Соотношения между суммами и интгрчламн [380]
§ 4. Интерполирование [381]
Глава X. Дополнительные геометрические приложения
§ 1. Особые точки плоских кривых [389]
§ 2. Асимптоты плоских кривых [397]
§ 3. Теория касания. Соприкасающиеся кривые и поверхности [402]
§ 4. Огибающие плоских кривых [412]
§ 5. Огибающие поверхностей и кривых в пространстве [417]
§ 6. Системы прямых: линейчатые поверхности конгруэнции [422]
§ 7. Приложение к кривым двоякой кривизны. Полярная поверхность. Эволюты [434]
§ 8. Кривизна линий, лежащих на поверхности [439]
Алфавитный и предметный указатель [460]